Définition

\(\triangleright\) Définition d'une suite de fonctions

Une suite de fonctions \((f_n)\) est une fonction \(f_n\) indéxées par \(n\in \Bbb N\)

Convergence

Convergence simple
Convergence uniforme

\(\triangleright\) Implication de convergence des suites de fonctions

La convergence uniforme implique la convergence simple.

Propriétés

\(\triangleright\) Continuité et suites de fonctions convergentes

Si \((f_n)\) converge uniformément vers \(f\) et si \(f_n\) est continue (en \(a\)) alors \(f\) est continue (en \(a\))
:
Montrer que Si \((f_n)\) converge uniformément vers \(f\) et si \(f_n\) est continue (en \(a\)) alors \(f\) est continue (en \(a\)).
1
Hypropriétéhèse:
$$\forall \epsilon\gt 0\quad \exists \eta \quad \forall x\in\mathcal D\quad \forall n\geq \eta \qquad |f_n(x)-f(x)|\leq \epsilon$$
$$\underset{x\to a}{\lim} f_n(x)= f_n(a)\quad\iff \forall \epsilon\gt 0\quad \exists \delta\gt 0\quad |x-a|\leq \delta \implies |f_n(x)-f_n(a)|\lt \epsilon$$
2
Thèse:
$$\forall \epsilon \gt 0\quad \exists \delta\gt 0 \qquad |x-a|\leq \delta\implies |f(x)-f(a)|\leq \epsilon$$
3
But:
$$|f(x)-f(a)|\leq \epsilon$$
Avec \(\epsilon\) imposé
$$|f(x)-f_n(x)+f_n(x)-f_n(a)+f_n(a)-f(a)|\leq |f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(a)|+|f_n(a)-f(a)|$$
Pour un \(\delta\) imposé en fonction de \(\epsilon\), je peux avoir: \(|f_n(x)-f_n(a)|\leq \frac{\epsilon}{3}\)
4
Je peux aussi pour \(\eta\) imposé par \(\epsilon\) obtenir \(|f(x)-f_n(x)|\leq \frac{\epsilon}3\qquad \forall x\)
Donc \(|f_n(a)-f(a)|\leq \frac\epsilon 3\) à condition que \(|x-a|\leq \delta\)